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简谐运动的特征#

简谐振动的运动学方程#

简谐振动的表示方法#

简谐振动旋转矢量法说明#

作坐标轴 $Ox$，自 $O$ 点作一矢量 $\vec{OM}$，用 $\vec{A}$ 表示。

• 振幅 $A$: $|\vec A| = A$。
• 初相 $\varphi_0$: $\vec A$ 在 $t = 0$ 时与 $x$ 轴的夹角。
• 角频率 $\omega$: $\vec A$ 以恒定角速度 $\omega$ 绕 $O$ 点作逆时针转动。
• 相位 $\omega t + \varphi_0$: $t$ 时刻 $\vec A$ 与 $x$ 轴的夹角。

旋转矢量 $\vec{OM}$ 在 $x$ 轴上的投影 $P$ 点的坐标作简谐振动。

简谐振动的能量#

• 简谐运动的动能: $E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$。
• 简谐振动的势能: $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)$。
• 简谐振动的总能量: $E = E_k + E_p = \frac{1}{2} k A^2$。

说明:

• $E_p$ 与 $E_k$ 振幅相同，变化规律相同，周期相同，相位相反，系统总能量守恒。
• $E \propto A^2$，这是一切振动形式的共同性质。

同方向振动的合成#

$$x_1 = A_1\cos(\omega_1 t + \varphi_1)$$ $$x_2 = A_2\cos(\omega_2 t + \varphi_2)$$

合振动的运动方程: $$x = x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)$$ $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$$ $$\varphi = \arctan \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\phi_2}$$

合振动仍为简谐运动，与分振动在同一方向，且有相同频率。

• $\varphi_2 - \varphi_1 = 2k\pi,\ k = 0,\pm1,\pm2,\dots\quad A = A_1 + A_2$, 同相，合振幅最大。
• $\varphi_2 - \varphi_1 = (2k + 1)\pi,\ k = 0,\pm1,\pm2,\dots\quad A = |A_1 - A_2|$, 反相，合振幅最小。
• 一般情况 (相位差任意) $\varphi_2 - \varphi_1 \neq k\pi\quad |A_1 - A_2| < A < A_1 + A_2$。

相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用。

机械波的产生#

波的几何描述——波线#

• 波线: 表示波的传播途径和方向的有向线段。
• 波面: 某时刻介质中振动相位相同的点所构成的空间面。

根据波面的形状把波分为球面波、平面波等。

描述波动的物理量#

• 波长: 同一波线上，相邻的相位差为 $2\pi$ 的两点间的距离，即一个完整波形的长度。($\lambda$)
  • 波长反映波动空间的周期性。
• 周期: 波传过一个波长所用的时间。
  • 周期反映波动时间的周期性。
• 频率: 波单位时间传播的距离中包含完整波的个数。
• 波速: 波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离，也称相速($u$)。

  波速 $u$ 与介质的性质有关，$\rho$ 为媒质的密度。 $$u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu$$

  • 周期或频率只决定于波源的振动。
  • 波速只决定于媒质的性质。
  • 波长由波源和媒质共同决定。

知识的对比与联系#

• 电磁波是横波。$\vec E, \vec B, \vec \nu$ 三矢量互相垂直，构成右手螺旋关系。
• 电磁波的传播速度为: $$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$$ $$\nu = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r \mu_0 \mu_r}} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}} = \frac{c}{n}$$

平面简谐波的波函数#

波的传播是振动的传播，是相位的传播，沿波的传播方向上各点相位依次落后。

• $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$ 推进单位长度的相位落后乘以波向前推进的距离。
• $= 2\pi\frac{\Delta x}{\lambda}$ 推进一个周期 (波长) 的相位落后乘以波向前推进的完整波的个数。
• $\omega \frac{\Delta x}{u} = \frac{2\pi}{T} \frac{\Delta x}{u}$ 推进单位时间的相位落后乘以波向前推进的时间。

波动表达式与相位落后法#

相位落后法的要点: 波的传播过程即振动状态的传播，是相位的传播，沿着波的传播方向上相位是依次落后的。

利用相位落后法建立平面简谐波波动表达式#

若已知 $O$ 点振动表达式: $y_O = A\cos(\omega t + \varphi)$。

• 波沿 $x$ 轴正方向传播，$t$ 时刻，$P$ 点的振动方程写为$$y(x, t) = A\cos\left[\omega \left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$$
• 波沿 $x$ 轴负方向传播，$t$ 时刻，$P$ 点的振动方程写为$$y(x, t) = A\cos\left[\omega \left(t + \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$$

波函数的物理意义#

• $x$ 确定时 ($x = x_0$) 为该处质元的振动方程, 对应曲线为该处质点振动曲线。
• $t$ 确定时 ($t = t_0$) 为该时刻各质元位移分布，对应曲线为该时刻波形图。
• $t$、$x$ 都变化时, 表示不同时刻，不同平衡位置处各质元的位移情况——行波。

波的能量#

以横波为例，波函数为：$y = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$ ，在细绳上任取一线元 $\Delta x$，其质量 $\Delta m = \rho\Delta x$。

• 质元的动能 $$v = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\sin\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$$ $$\Delta E_k = \frac{1}{2}\Delta m v^2 = \frac{1}{2}\rho\Delta x A^2 \omega^2 \sin^2\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$$
• 质元的势能$$\Delta E_p = \frac{1}{2}\rho\Delta x A^2 \omega^2 \sin^2\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]$$
• 总机械能$$\Delta E = \Delta E_k + \Delta E_p = \rho\Delta x A^2 \omega^2 \sin^2\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right] = \rho A^2 \omega^2 \sin^2\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi_0\right]\Delta x$$
• 波在传播过程中，任意质元动能、势能的相位和量值均相同。
  • 在平衡位置 ($y = 0$): 动能 $E_k$、势能 $E_p$ 最大。
  • 在振幅处 ($y = A$): 动能 $E_k$、势能 $E_p$ 为零。

  
  • 在平衡位置 ($y = 0$): 动能 $E_k$ 最大、势能 $E_p$ 为零。
  • 在振幅处 ($y = A$): 动能 $E_k$ 为零、势能 $E_p$ 最大。

  
• 介质中任意质元的总机械能不守恒，随时间 $t$ 作周期性的变化。
• 能量以波速 $u$ 在介质中传播。

产生干涉的条件#

• 频率相同。
• 振动方向相同。
• 相位相同或相位差恒定。

干涉加强和减弱的条件#

• 干涉加强的条件: $\Delta \varphi = \pm 2k\pi\ k = 0,1,2,3,\dots$, $A = A_{\max} = A_1 + A_2$。
• 干涉减弱的条件: $\Delta \varphi = \pm (2k + 1)\pi\ k = 0,1,2,3,\dots$, $A = A_{\min} = |A_1 - A_2|$。

简谐运动的判据#

1. 受线性回复力(矩)。
2. $x'' + \omega^2 x = 0$。

$\omega$:

• 单位时间相位改变。
• $2\pi$ 秒内完成全振动次数。

单摆和复摆#

• 刚体: 复摆。
• 质点: 单摆。

横波纵波的根本原因#

• 横波的根本原因是剪切形变的弹性力。
• 纵波具有容变弹性的媒质都可以传播 (媒质 == 介质)。

两个方法#

• 振动——旋转矢量法。
• 波动——相位落后法。

电磁波#

• $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$, $\nu = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{c}{n}$。
• $\varepsilon_0$ 真空电容率，真空中某点容纳电场的能力 (老叫法: 真空电介质常数)。
• $\mu_0$ 真空磁导率，容纳磁场的能力。
• $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ 介质电容率。
• $\mu = \mu_0 \mu_r$ 介质磁导率。
• 真空 $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$, 介质 $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r r^2}$。
• $\varepsilon_r$ 相对电容率，$\mu_r$ 相对磁导率。
• 光在介质传播速度取决于介质的电磁属性，机械波传播速度取决于介质的力学属性(力学弹性)。
• LED(light-emitting diode) 发光二极管 不是 light electic deng。
• 发光原理 $\Delta E = E_3 - E_1 = h\nu$ (假设是从 3 能级跃迁到 1 能级)。